Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC，A（-4，0），B（0，2）

（1）如圖1，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，BC交x軸于點(diǎn)M，AC交y軸于點(diǎn)N，且BM=CM，求證：∠AMB=∠CMN；
（3）如圖3，若點(diǎn)A不動(dòng)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以O(shè)B、AB為直角邊在第一、第二象限作等腰直角△BOF與等腰直角△ABE，連接EF交y軸于P點(diǎn)，問當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上移動(dòng)時(shí)，BP的長(zhǎng)度是否變化？若變化請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變化，請(qǐng)求出其長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）作CD⊥BO，易證△ABO≌△BCD，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可解題；
（2）找到G點(diǎn)使得MG=MN，分別求得M，N的坐標(biāo)，可以求得BG=CN，即可求得△CMN≌△BMG，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可解題；
（3）作EG⊥y軸，易證△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG=AO和PB=PG，即可求得PB=

1

2

AO，即可解題．

解答：解：（1）作CD⊥BO，

∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
在△ABO和△BCD中，

∠BOA=∠BDC=90° ∠CBD=∠BAO AB=BC

，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD=AO=4，CD=BO=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)（2，-2）；
（2）找到G點(diǎn)使得MG=MN，

∵直線BC經(jīng)過B（0，2），C（2，-2），設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，
代入B、C得直線BC解析式為y=-2x+2，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）
∵直線AC經(jīng)過A（-4，0），C（2，-2），設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
代入A、C得直線BC解析式為y=-

1

3

x-

4

3

，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

4

3

），
∴RT△OMN中，MN=

OM2+ON2

=

5

3

，
∵M(jìn)G=MN，∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2

3

，0）
∴GB=CN，
在△CMN和△BMG中，

BM=CM MG=MN CN=BG

，
∴△CMN≌△BMG（SSS），
∴∠AMB=∠CMN；
（3）作EG⊥y軸，

∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBG=90°，
∴∠BAO=∠EBG，
在△BAO和△EBG中，

∠AOB=∠BGE=90° ∠BAO=∠EBG AB=BE

，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG=AO，EG=OB，
∵OB=BF，
∴BF=EG，
在△EGP和△FBP中，

∠EPG=∠FPB ∠EGP=∠FBP=90° EG=BF

，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB=PG，
∴PB=

1

2

BG=

1

2

AO=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的證明是解本題的關(guān)鍵．