Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC=20厘米，BC=16厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿B-C-A以3厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在從點(diǎn)C出發(fā)沿C-A-B運(yùn)動(dòng)，PQ兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)停止，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過2秒后，△BPD和△CQP是否全等，請說明理由．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，直線PD將△ABC的周長分成兩部分，使其中一部分的長度是另一部分長度的3倍？
（3）當(dāng)點(diǎn)Q以2厘米/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，求經(jīng)過多長時(shí)間，點(diǎn)P追上點(diǎn)Q．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）由題意可知2秒后BP=6，則PC=16-6=10，且BD=10，CQ=6，且∠B=∠C，可知△BPD≌△CQP；
（2）由條件可知BD+BP=3（AD+AC+CP）或3（BD+BP）=AD+AC+CP，代入得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；
（3）由條件可知3t-2t=BC=16，求得t即可．

解答：解：（1）全等，理由如下：
由題意可知2秒后BP=CQ=6cm，
∵D為AB中點(diǎn)，
∴BD=

1

2

AB=10cm，且PC=BC-BP=16-6=10（cm），
∴BD=CP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中

BD=CP ∠B=∠C BP=CQ

∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）由條件可知AD=BD=10cm，AC=20cm，
BP=3tcm，CP=16-3t（cm），
當(dāng)BD+BP=3（AD+AC+CP）時(shí)，則有10+3t=3（10+20+16-3t），解得t=

32

3

，
當(dāng)3（BD+BP）=AD+AC+CP時(shí)，則有3（10+3t）=10+20+16-3t，解得t=

4

3

，
綜上可知當(dāng)t為

4

3

s或

32

3

s時(shí)，直線PD將△ABC的周長分成兩部分，使其中一部分的長度是另一部分長度的3倍；
（3）設(shè)經(jīng)過ts后P追上Q點(diǎn)，根據(jù)題意可得3t-2t=16，解得t=16s，
即經(jīng)過16s后P點(diǎn)追上Q點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定及等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．用時(shí)間表示出線段的長度，化動(dòng)為靜是解決這類問題的基本思路．