Question

10．在等腰三角形ABC中，AC=BC，點P為BC邊上一點（不與B、C重合），連接PA，以P為旋轉(zhuǎn)中心，將線段PA順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角與∠C相等，得到線段PD，連接DB．
（1）當∠C=90°時，請你在圖1中補全圖形，并直接寫出∠DBA的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠C=α，求∠DBA的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；
（3）連接AD，若∠C=30°，AC=2，∠APC=135°，請寫出求AD長的思路．（可以不寫出計算結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）依題意畫出圖形，如圖1所示，先判斷出∠BPD=∠EPA，從而得出△PDB≌△PAE，簡單計算即可；
（2）先判斷出∠CBA=∠CAB，∠BPD=∠EPA，從而得出△PDB≌△PAE，簡單代換即可；
（3）先求出BH=2-$\sqrt{3}$，再根據(jù)勾股定理得，AB=2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$，然后判斷出△PAD∽△CAB，從而求出AD．

解答 解：（1）依題意補全圖形，如圖1所示，

過點P作PE∥AC，
∴∠PEB=∠CAB，
∵AB=BC，
∴∠CBA=∠CAB，
∴∠PEB=∠PBE，
∴PB=PE，
∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=90°，
∴∠BPD=∠EPA，
∵PA=PD，
∴△PDB≌△PAE，
∵∠PBA=∠PEB=$\frac{1}{2}$（180°-90°）=45°，
∴∠PBD=∠PEA=180°-∠PEB=135°，
∴∠DBA=∠PBD-∠PBA=90°；
（2）如圖2，

過點P作PE∥AC，
∴∠PEB=∠CAB，
∵AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB，
∴∠PEB=∠PBE，
∴PB=PE，
∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=α，
∴∠BPD=∠EPA，
∵PA=PD，
∴△PDB≌△PAE，
∵∠PBA=∠PEB=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠PBD=∠PEA=180°-∠PEB=90°+$\frac{1}{2}$α，
∴∠DBA=∠PBD-∠PBA=α；
（3）如圖3，

作AH⊥BC，
∵∠ACB=30°，AC=2，
∴AH=1，CH=$\sqrt{3}$，
∴BH=2-$\sqrt{3}$，
根據(jù)勾股定理得，AB=$\sqrt{A{H}^{2}+B{H}^{2}}$=2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$，
∵∠APC=135°，
∴∠APH=45°，
∴AP=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$，
∵∠APD=∠ACB=30°，AC=BC，AP=DP，
∴△PAD∽△CAB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$=$\sqrt{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}$．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，判斷△PDB≌△PAE是解本題的關(guān)鍵，也是難點．