Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=

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∠BAD．猜想線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠DAB的度數(shù)得到△ABG，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ADF=∠ABG，∠GAF=∠BAD，AG=AF，BG=DF，再證明點(diǎn)G在CB的延長線上，
即GE=BG+BE，然后證明△AEG≌△AEF，得到EF=GE，所以EF=BE+BG=BE+DF．

解答：解：EF=BE+DF．理由如下：
把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠DAB的度數(shù)得到△ABG，如圖，
∴∠ADF=∠ABG，∠GAF=∠BAD，AG=AF，BG=DF，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠ABG=180°，
∴點(diǎn)G在CB的延長線上，
∴GE=BG+BE，
∵∠EAF=

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2

∠BAD，
∴∠EAF=

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2

∠GAE，
∴∠EAF=∠GAE，
在△AEG和△AEF中，

AG=AF ∠GAE=∠FAE AE=AE

，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EF=GE，
∴EF=BE+BG=BE+DF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．