Question

用反證法證明：在同一圓中，如果兩條弦不等，那么它們的弦心距也不等．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法

專題：證明題

分析：首先從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)而假設(shè)結(jié)論不成立，即在同一個(gè)圓中，如果兩條弦不等，弦心距可能相等，再利用勾股定理結(jié)合已知得出矛盾，進(jìn)而得出答案．

解答：證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即在同一個(gè)圓中，如果兩條弦不等，弦心距可能相等，
設(shè)圓心為O，弦AB≠弦CD，
設(shè)AB中點(diǎn)為M，CD中點(diǎn)為N，
則OM⊥AB，ON⊥CD，且OM=ON，
根據(jù)弦長(zhǎng)性質(zhì)，AM=

1

2

AB，CN=

1

2

CD，
由勾股定理可知：OA²=AM²+OM²=

1

4

AB²+OM²，
OC²=CN²+ON²=

1

4

CD²+ON²
∵OA=OC=半徑，
∴

1

4

AB²+OM²=

1

4

CD²+ON²
又∵OM=ON，則

1

4

AB²=

1

4

CD²，
即AB=CD，與假設(shè)AB≠CD矛盾，假設(shè)不成立，
故在同一個(gè)圓中，如果兩條弦不等，它們的弦心距不等．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反證法以及勾股定理，根據(jù)題意結(jié)合勾股定理求出是解題關(guān)鍵．