Question

5．（1）設(shè)a∈R，求證：拋物線y=x²+（a+2）x-2a+1都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，且頂點(diǎn)都落在一條拋物線上．
（2）若關(guān)于x的方程x²+（a+2）x-2a+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，求其較大根的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=x²+（a+2）x-2a+1，將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化為x²+2x+1+a（x-2），由于該函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)，則與a值無關(guān)，所以x=2，將其代入拋物線解析式求得相應(yīng)的y值即可得到該定點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系；
（2）利用求根公式求得該方程的較大根，結(jié)合二次根式的性質(zhì)和根的判別式來求其取值范圍．

解答 解：（1）令f（x）=x²+（a+2）x-2a+1=x²+2x+1+a（x-2），
∵拋物線y=x²+（a+2）x-2a+1都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，
∴x-2=0即x=2，
把x=2代入得到：y=2²+2×2+1=9，
即該拋物線過定點(diǎn)  （2，9），該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為x=-$\frac{a+2}{2}$，y=$\frac{4（1-2a）-（a+2）^{2}}{4}$=-$\frac{{a}^{2}+12a}{4}$
消去a，得y=-x²+4x+5，
即頂點(diǎn)都落在一條拋物線y=-x²+4x+5上．

（2）關(guān)于x的方程x²+（a+2）x-2a+1=0的大根為：
x=$\frac{-（a+2）+\sqrt{（a+2）^{2}-4（1-2a）}}{2}$，
=$\frac{-（a+2）+\sqrt{{a}^{2}+12}}{2}$，
=$\frac{-（a+2）+\sqrt{（a+6）^{2}-36}}{2}$．
令a+6=2k，則
x=$\frac{-（2k-4）+\sqrt{4{k}^{2}-36}}{2}$=$\sqrt{{k}^{2}-9}$-k+2．
由判別式△=（a+2）²-4（-2a+1）＞0得：k＞3或k＜-3．
當(dāng)k＜-3時(shí)，x＞5；
當(dāng)k＞3時(shí)，x=2-$\frac{9}{\sqrt{{k}^{2}-9}+k}$，可得-1＜x＜2．
綜上可得，方程的大根x的取值范圍為（-1，2）∪（5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一元二次方程根的分布問題的解法，方程的根與函數(shù)零點(diǎn)間的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，轉(zhuǎn)化化歸數(shù)形結(jié)合的思想方法．