Question

7．如圖，在Rt△ABC中，△ACB=90°，D是AB邊上的一點，以BD為直徑的⊙O與AC相切于點E，連接DE并延長，與BC的延長線交于點F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OE，由AC是⊙O的切線，得OE⊥AC，再根據(jù)題意得OE∥BF，則∠OED=∠F，OD=OE，從而得出∠F=∠BDF，即BD=NF；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，由OE∥BF，可證明△AOE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AO}{AB}=\frac{OE}{BC}$，即可求得r，進(jìn)而得出⊙O的面積．

解答 （1）證明：連接OE，∵AC是⊙O的切線，
∴OE⊥AC
又∵∠ACB=90°，
∴OE∥BF，
∴∠OED=∠F，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠BDF，
∴∠F=∠BDF，
即BD=BF；

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，則AO=12-r，
∵OE∥BF，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{OE}{BC}$，即$\frac{12-r}{12}=\frac{r}{6}$，
解得r=4，
∴S_⊙O=4²π=16π．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，本題涉及的知識點：兩直線平行，等腰三角形的判定、三角形相似、圓的面積．