Question

20．如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使得BC=CE，連結(jié)DE．
（1）求證：四邊形ACED是矩形；
（2）若AC=4，BD=6，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，BC=CE，易證得四邊形ACED是平行四邊形，又由AC⊥BC，即可證得四邊形ACED是矩形；
（2）由四邊形ACED是矩形，AC=4，BD=6，利用勾股定理即可求得BE的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BC=CE，
∴AD=CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE=90°，
∴四邊形ACED是矩形；

（2）∵四邊形ACED是矩形，
∴DE=AC=4，∠E=90°，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵BC=CE，
∴CE=$\frac{1}{2}$BE=$\sqrt{5}$，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了矩形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意利用勾股定理求線段CD的長(zhǎng)是關(guān)鍵．