Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=

3

，點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B（得到A、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、O′）．
（1）用尺規(guī)作圖作出△A′O′B；
（2）證明：點(diǎn)C、O、O′和A′四點(diǎn)共線；
（3）求OA+OB+OC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）解直角三角形求出∠ABC=30°，然后過點(diǎn)B作BC的垂線，在截取A′B=AB，再以點(diǎn)A′為圓心，以AO為半徑畫弧，以點(diǎn)B為圓心，以BO為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)O′，連接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角與∠ABC的度數(shù)，相加即可得到∠A′BC；
（3）根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，即A′B的長(zhǎng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BOO′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BO=OO′，等邊三角形三個(gè)角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到OA+OB+OC=A′C．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=1，BC=

3

，
∴tan∠ABC=

AC

BC

=

1

3

=

3

3

，
∴∠ABC=30°，
∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∴A′B⊥CB，
過點(diǎn)B作BC的垂線，在截取A′B=AB，
再以點(diǎn)A′為圓心，以AO為半徑畫弧，
以點(diǎn)B為圓心，以BO為半徑畫弧，
兩弧相交于點(diǎn)O′，連接A′O′、BO′，
即△A′O′B如圖所示；

（2）證明：∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等邊三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，

（3）在Rt△A′BC中，A′C=

BC2+A′B2

=

3 2+22

=

7

，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，最后一問求出C、O、A′、O′四點(diǎn)共線是解題的關(guān)鍵．