Question

在△ABC中，AB=AC=4，腰上高CH為2

3

．E是BC上一點(diǎn)，EF∥AB交AC于F，EP⊥AB垂足為P．設(shè)BP=x，梯形BEFA的面積為y．求：
（1）y與x的函數(shù)關(guān)系及定義域；   
（2）當(dāng)梯形BEFA面積為△ABC面積一半時(shí)，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),一元二次方程的應(yīng)用,勾股定理

專(zhuān)題：

分析：（1）由條件可證明△ABC為等邊三角形，再利用x表示出EF的長(zhǎng)和PE的長(zhǎng)可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）可先求得△ABC的面積，當(dāng)y=

1

2

S_△ABC，代入函數(shù)解析式求出x即可．

解答：解：（1）∵AC=4，CH=2

3

，
∴sin∠A=

CH

AC

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠A=60°，且AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，AB=BC=AC=4，
∵EF∥AB，
∴△CEF為等邊三角形，
∴EF=CE，
當(dāng)BP=x，則BE=2x，PE=

3

x，
∴EF=CE=BC-BE=4-2x，
∴y=

1

2

（AB+EF）•PE=

1

2

×（4+4-2x）×

3

x=-

3

x²+4

3

x，
∵P點(diǎn)在AB上，
∴0＜x＜4，
綜上可知y與x的函數(shù)關(guān)系為y═-

3

x²+4x，其定義域?yàn)?＜x＜4；
（2）∵S_△ABC=

1

2

AB•CH=

1

2

×4×2

3

=4

3

，
∴當(dāng)梯形BEFA面積為△ABC面積一半時(shí)，y=2

3

，
∴2

3

=-

3

x²+4

3

x，解得x=2+

2

或x=2-

2

，
即當(dāng)梯形BEFA面積為△ABC面積一半時(shí)，BP的長(zhǎng)為2+

2

或2-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，由條件判定出△ABC為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．