Question

18．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，點E、F分別從點D和點C出發(fā)，沿著射線DA、射線CD運動，且DE=CF，直線AF、直線BE交于H點．
（1）當(dāng)點E從點D向點A運動的過程中：
①求證：AF⊥BE；
②在圖中畫出點H運動路徑并求出點H運動的路徑長；
（2）在整個運動過程中：
①線段DH長度的最小值為2$\sqrt{5}$-2cm．
②線段DH長度的最大值為2$\sqrt{5}$+2cm．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理證明△ABE≌△DAF，得到∠ABE=∠DAF，根據(jù)垂直的定義證明即可；
②根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑畫出點H運動路徑，根據(jù)弧長公式求出點H運動的路徑長；
（2）①根據(jù)勾股定理求出PD，根據(jù)點與圓的最小距離求出DH長度的最小值；
②與①類似，求出DH長度的最大值．

解答 （1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，又DE=CF，
∴AE=DF，
 在△ABE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，又∠BAH+∠DAF=90°，
∴∠BAH+∠ABE=90°，即∠AHB=90°，
∴AF⊥BE；
②∵∠AHB=90°，
∴點H運動路徑是以AB為直徑的圓的一部分，如圖1所示：
∴點H運動的路徑長為：$\frac{90π×2}{180}$=π；
（2）①設(shè)AB的中點為P，連接PD，當(dāng)點H在PD設(shè)時，DH最小，
由題意得，AP=2，AD=4，
由勾股定理得，PD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{P}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
則DH長度的最小值為：2$\sqrt{5}$-2，
故答案為：2$\sqrt{5}$-2cm；
②由①可知，DH長度的最大值為2$\sqrt{5}$+2，
故答案為：2$\sqrt{5}$+2cm．

點評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、軌跡問題、最大值和最小值的確定，掌握正方形的性質(zhì)、圓的概念是解題的關(guān)鍵．