Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=$\frac{4}{3}$x+8與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B．點(diǎn)C在x軸的正半軸上，∠ABC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC．

（1）求直線BC的解析式；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以$\sqrt{5}$個(gè)單位/秒的速度沿線段CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB交AB于點(diǎn)Q，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，PQ長(zhǎng)度為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系（不要求寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，連接QC，當(dāng)∠PQC=$\frac{1}{2}$∠ABO時(shí)，求此時(shí)t的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AE平分∠BAC交BC于E，由△EAB≌△EAC，推出AB=AC，求出點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
（2）由△AEB∽△PQB，得到$\frac{PQ}{AE}$=$\frac{PB}{AB}$=$\frac{BQ}{BE}$，求出AE、BE即可解決問(wèn)題．
（3）如圖3中，作BM平分∠ABO，MN⊥AB于N，CE⊥QP于E．首先證明△BMN≌△BMO，推出BN=BO=8，AN=2，設(shè)MN=MO=x，在Rt△AMN中，∵AN²+MN²=AM²，
列出方程求出x，可得tan∠MBO=tan$\frac{1}{2}$∠ABO=tan∠CQE=$\frac{OM}{OB}$=$\frac{1}{3}$，再由CE∥BQ，得$\frac{CE}{BQ}$=$\frac{PE}{PQ}$=$\frac{PC}{PB}$，求出CE、PE即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，作AE平分∠BAC交BC于E，

∵∠ABC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-∠BAE，
∴∠AEB=90°，
在△AEB和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AEC=90°}\\{AE=AE}\\{∠EAB=∠EAC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△EAC，
∴AB=AC，
∵直線y=$\frac{4}{3}$x+8與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，
∴B（0，8），A（6，0），
∴OA=6，OB=8，AB=AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∴OC=4，C（4，0），
設(shè)直線BC 解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-2x+8．

（2）如圖2中，

∵PQ⊥AB，AE⊥BC，
∴∠AEB=∠PQB=90°，
∵∠ABE=∠PBQ，
∴△AEB∽△PQB，
∴$\frac{PQ}{AE}$=$\frac{PB}{AB}$=$\frac{BQ}{BE}$，
∵BC=$\sqrt{O{C}^{2}+B{O}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴CE=BE=2$\sqrt{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-E{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴$\frac{PQ}{4\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{5}t}{10}$=$\frac{BQ}{2\sqrt{5}}$，
∴BQ=4-t，PQ=8-2t．
∴d=8-2t．

（3）如圖3中，作BM平分∠ABO，MN⊥AB于N，CE⊥QP于E．

∵∠MBN=∠MBO，∠MNB=∠MOB，BM=BM，
∴△BMN≌△BMO，
∴BN=BO=8，AN=2，設(shè)MN=MO=x，
在Rt△AMN中，∵AN²+MN²=AM²，
∴2²+x²=（6-x）²，
∴x=$\frac{8}{3}$，
∴tan∠MBO=tan$\frac{1}{2}$∠ABO=tan∠CQE=$\frac{OM}{OB}$=$\frac{1}{3}$，
∵CE⊥EQ，QE⊥AB，
∴CE∥BQ，
∴$\frac{CE}{BQ}$=$\frac{PE}{PQ}$=$\frac{PC}{PB}$，
∴$\frac{CE}{4-t}$=$\frac{PE}{8-2t}$=$\frac{\sqrt{5}t}{4\sqrt{5}-\sqrt{5}t}$，
∴CE=t，PE=2t，
∴$\frac{t}{8-2t+2t}$=$\frac{1}{3}$，
∴t=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．