Question

19．四邊形ABCD為平行四邊形，BD為對(duì)角線，點(diǎn)E在AB的延長線上，作EF∥BD，交BC邊于點(diǎn)F．
如圖，設(shè)對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)．
①若OF=1，則AE=3；
②當(dāng)∠CDB=90°時(shí)，四邊形OBEF是矩形．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD為平行四邊形可得出點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)即可得出OF為△CAB的中位線，由此可得出OF∥AB，結(jié)合EF∥BD即可得出四邊形OBEF為平行四邊形．①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)即可得出AB、BE的長度，進(jìn)而即可得出AE的長度；②由四邊形OBEF是矩形，即可得出∠BOF=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠CDB的度數(shù)．

解答 解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，
∴OF為△CAB的中位線，
∴OF∥AB，OF=$\frac{1}{2}$AB．
∵EF∥BD，
∴四邊形OBEF為平行四邊形．
①∵OF=1，
∴BE=OF=1，AB=2OF=2，
∴AE=AB+BE=3．
故答案為：3．
②∵四邊形OBEF是矩形，
∴∠BOF=90°，
∵OF∥AB∥CD，
∴∠CDB=∠BOF=90°．
故答案為：90．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：①找出四邊形OBEF為平行四邊形；②根據(jù)矩形的性質(zhì)找出∠BOF=90°．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，熟練運(yùn)用平行四邊形的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．