Question

心理學(xué)家通過實驗發(fā)現(xiàn)：初中學(xué)生聽講的注意力隨時間變化，講課開始時，學(xué)生注意力逐漸增強，中間有一段平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散．學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)y隨時間表t（分鐘）變化的函數(shù)圖象如下．當(dāng)0≤t≤10時，圖象是拋物線的一部分，當(dāng)10≤t≤20時和20≤t≤40時，圖象是線段．
（1）當(dāng)0≤t≤10時，求注意力指標(biāo)數(shù)y與時間t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）一道數(shù)學(xué)探究題需要講解24分鐘，問老師能否經(jīng)過恰當(dāng)安排，使學(xué)生在探究這道題時，注意力指標(biāo)數(shù)不低于45？請通過計算說明．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進而得出答案；
（2）首先利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，進而令y=45，有45=-

7

4

x+95，求出x的值，進而得出講課后注意力不低于45的時間．

解答：解：（1）當(dāng)0≤t≤10時，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax²+bx+c．由于它的圖象經(jīng)過點（0，25），（4，45），（10，60），
所以

c=25 16a+4b+c=45 100a+10b+c=60

，
解得：

a=- 1 4 b=6 c=25

，
所以y=-

1

4

x2+6x+25；

（2）當(dāng)20≤x≤40時，設(shè)函數(shù)解析式為：y=kx+d，將（20，60），（40，25）代入得：

20k+d=60 40k+d=25

，
解得：

k=- 7 4 d=95

∴y=-

7

4

x+95，
令y=45，有45=-

7

4

x+95，
解得：x=28

4

7

，
即講課后第28

4

7

分鐘時注意力不低于45，
當(dāng)0≤x≤10時，令y=45，有45=-

1

4

x²+6x+25，
解得：x₁=4，x₂=20（舍去），
即講課后第4分鐘時，注意力不低于45，
所以講課后注意力不低于45的時間有28

4

7

-4=24

4

7

（分鐘）＞24（分鐘），
所以老師可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才�，使學(xué)生在探究這道數(shù)學(xué)題時，注意力指數(shù)不低于45．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．