Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是弦AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，延長(zhǎng)EP交$\widehat{AC}$于點(diǎn)F，且在射線EP上找到一點(diǎn)D使得DC=DP．
（1）求證：直線DC是⊙O的切線；
（2）若∠CAB=30°，當(dāng)F是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)時(shí)，判斷以A、O、C、F為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形？說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OC，利用已知條件和圓的基本性質(zhì)證明OC⊥CD，即可得到直線DC是⊙O的切線；
（2）由∠CAB=30°易得△OBC為等邊三角形，可得∠AOC=120°，由F是弧AC的中點(diǎn)，易得△AOF與△COF均為等邊三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．

解答 （1）證明：連接OC，
∵DP=DC，
∴∠DPC=∠DCP，
∵∠DPC=∠APE，
∴∠APE=∠DCP，
∵PE⊥AB，
∴∠AEP=90°，
∴∠A+∠APE=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A，
∴∠OCA+∠DCP=90°，
∴OC⊥CD，
∴直線CD與⊙O相切；
（2）解：以A、O、C、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：
連接BC，
∵∠CAB=30°，
∴∠B=60°，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠AOC=120°，
連接OF，AF，
∵F是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，
∴∠AOF=∠COF=60°，
∴△AOF與△COF均為等邊三角形，
∴AF=AO=OC=CF，
∴四邊形AOCF為菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理和等邊三角形的判定等，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線利用切線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．