Question

11．問(wèn)題與探索
問(wèn)題情境：課堂上，老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖（1），將一張菱形紙片ABCD（∠BAD＞90°）沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，得到△ABC和△ACD．
操作發(fā)現(xiàn)：
（1）將圖（1）中的△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角α，使α=∠BAC，得到如圖（2）所示的△AC′D，分別延長(zhǎng)BC和DC′交于點(diǎn)E，則四邊形ACEC′的形狀是菱形．
（2）創(chuàng)新小組將圖（1）中的△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角α，使α=2∠BAC，得到如圖（3）所示的△AC′D，連接DB、C′C，得到四邊形BCC′D，發(fā)現(xiàn)它是矩形，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：菱形．首先證明四邊形ACEC′是平行四邊形，再由AC=AC′即可證明結(jié)論．
（2）如圖3中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥C′C于點(diǎn)E，首先證明DC′∥CB，DC′=BC，推出四邊形BCC′D是平行四邊形，再證明∠BCC′=90⁰即可．

解答 解：（1）結(jié)論：菱形．
理由：如圖2中，

由題意∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=∠CAC′=∠AC′D
∴AC′∥EC，
∵∠CAC′=∠AC′D，
∴AC∥EC′，
∴四邊形ACEC′是平行四邊形，
∵AC=AC′，
∴四邊形ACEC′是菱形．

（2）如圖3中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥C′C于點(diǎn)E，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得AC′=AC，
∴∠CAE=∠C′AE=$\frac{1}{2}$α=∠ABC，∠AEC=90°，
∵BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC
∴∠CAE=∠BCA，
∴AE∥BC．
同理，AE∥DC′，
∴BC∥DC′，
又∵BC=DC′，
∴四邊形BCC′D是平行四邊形，
又∵AE∥BC，∠AEC=90°，
∴∠BCC′=180⁰-90⁰=90⁰
∴四邊形BCC′D是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題．矩形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．