Question

9．如圖，已知一個直角三角形紙片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分別是AC、AB邊上點(diǎn)，連接EF，將紙片ACB的一角沿EF折疊．
（1）如圖①，若折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，且使S_{四邊形ECBF}=3S_△AEF，則AE=$\frac{5}{2}$；
（2）如圖②，若折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，且使MF∥CA．求AE的長；
（3）如圖③，若折疊后點(diǎn)A落在BC延長線上的點(diǎn)N處，且使NF⊥AB．求AE的長．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)得出EF⊥AB，△AEF≌△DEF，得出S_△AEF≌S_△DEF，由已知得出S_△ABC=4S_△AEF，證明△AEF∽△ABC，得出$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）²，即可求出AE的長；
（2）設(shè)AE=x，則CE=4-x．由折疊可知：AE=EM=x，AF=MF，∠AFE=∠MFE，證明四邊形AEMF為菱形．得出EM∥AB．由平行線證明△CME∽△CBA．得出對應(yīng)邊成比例，即可得出AE的長；
（3）設(shè)AE=y，則CE=4-y．由折疊可知：AE=EN=y，AF=NF，證明△NBF∽ABC．得出對應(yīng)邊成比例求出BF=$\frac{3}{4}$NF=$\frac{3}{4}$AF．由BF+AF=AB=5得出方程，解方程得出BF=$\frac{15}{7}$，NF=$\frac{20}{7}$，由勾股定理求出BN=$\sqrt{B{F}^{2}+N{F}^{2}}$=$\frac{25}{7}$，得出CN=BN-BC=$\frac{4}{7}$．在Rt△CEN中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S_△AEF≌S_△DEF，
∵S_{四邊形ECBF}=3S_△EDF，
∴S_△ABC=4S_△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠EAF=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）²，即（$\frac{AE}{5}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$；
故答案為：$\frac{5}{2}$；
（2）設(shè)AE=x，則CE=4-x．
由折疊可知：AE=EM=x，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵M(jìn)F∥AC，
∴∠AEF=∠MFE．
∴∠AEF=∠AFE．
∴AE=AF．
∴AE=EM=MF=AF，
∴四邊形AEMF為菱形．
∴EM∥AB．∴△CME∽△CBA．
∴$\frac{CE}{CA}$=$\frac{EM}{AB}$，即$\frac{4-x}{4}$=$\frac{x}{5}$，解得x=$\frac{20}{9}$，即AE=$\frac{20}{9}$；
（3）設(shè)AE=y，則CE=4-y．
由折疊可知：AE=EN=y，AF=NF，
∵NF⊥AB，
∴∠NFB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠NFB=∠ACB．
且∠NBF=∠ABC，
∴△NBF∽ABC．
∴$\frac{BF}{NF}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$．即BF=$\frac{3}{4}$NF=$\frac{3}{4}$AF．由BF+AF=AB=5，
解得：BF=$\frac{15}{7}$，NF=$\frac{20}{7}$，
∴BN=$\sqrt{B{F}^{2}+N{F}^{2}}$=$\frac{25}{7}$，
∴CN=BN-BC=$\frac{25}{7}$-3=$\frac{4}{7}$．
在Rt△CEN中，由勾股定理得：CN²+CE²=EN²，
∴（$\frac{4}{7}$）²+（4-y）²=y²，
解得：y=$\frac{100}{49}$，
即AE=$\frac{100}{49}$．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題，考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定和性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形相似和運(yùn)用勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．