Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=mx²-（2m+1）x+m-5的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m取滿足條件的最小的整數(shù)，
①寫出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
②當(dāng)n≤x≤1時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是-6≤y≤4-n，求n的值；
③將此二次函數(shù)平移，使平移后的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O．設(shè)平移后的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-h）²+k，當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可得出關(guān)于x的方程mx²-（2m+1）x+m-5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用根的判別式△＞0結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)非零，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍；
（2）①取（1）中m的最小整數(shù)，將其代入二次函數(shù)解析式中即可；
②找出拋物線的對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合“當(dāng)n≤x≤1時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是-6≤y≤4-n”，即可得出關(guān)于n的一元二次方程以及一元一次不等式，解之即可得出n的值；
③根據(jù)平移的性質(zhì)可得出a=1，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出h≥2，再將（0，0）代入二次函數(shù)解析式中可得出k=-h²，進(jìn)而即可得出k的取值范圍．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=mx²-（2m+1）x+m-5的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴關(guān)于x的方程mx²-（2m+1）x+m-5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≠0}\\{△=[-（2m+1）]^{2}-4×m×（m-5）＞0}\end{array}\right.$，
解得：m＞-$\frac{1}{24}$且m≠0．

（2）①∵m＞-$\frac{1}{24}$且m≠0，m取其內(nèi)的最小整數(shù)，
∴m=1，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-3x-4．

②∵拋物線的對稱軸為x=-$\frac{-3}{2}$=$\frac{3}{2}$，1＞0，
∴當(dāng)x≤$\frac{3}{2}$時(shí)，y隨x的增大而減�。�
又∵n≤x≤1時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是-6≤y≤4-n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-3n-4=4-n}\\{n≤1}\\{1-3-4=-6}\end{array}\right.$，解得：n=-2．

③根據(jù)平移的性質(zhì)可知，a=1，
∵當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴h≥2．
∵平移后的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O，
∴0=（0-h）²+k，即k=-h²，
∴k≤-4．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)與幾何變換、根的判別式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用根的判別式△＞0以及二次項(xiàng)系數(shù)非零求出m的取值范圍；（2）①根據(jù)m的取值范圍找出m的值；②根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性找出關(guān)于n的一元二次方程；③利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出k=-h²．