Question

6．如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC=10，AB=CD，BD=12，點E從D點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿DA向點A勻速移動，點F從點C出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿C→B→C，作勻速移動，點G從點B出發(fā)沿BD向點D勻速移動，三個點同時出發(fā)，當(dāng)有一個點到達終點時，其余兩點也隨之停止運動，假設(shè)移動時間為t秒．
（1）試證明：AD∥BC；
（2）在移動過程中，小明發(fā)現(xiàn)有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn)，請你探究這樣的情況會出現(xiàn)幾次？并分別求出此時的移動時間和G點的移動距離；
（3）愛動腦筋的小明把BD=12改為BD=8，其他都不變，發(fā)現(xiàn)仍有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn)，這樣的情況會出現(xiàn)4次，此時的移動時間分別為2.5秒、1秒、5秒，、4.5秒．

Answer 1

分析 （1）由AD=BC=8，AB=CD，BD為公共邊，所以可證得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB=∠CBD，所以AD∥BC；
（2）設(shè)G點的移動距離為y，分兩種情況，一種F由C到B，一種F由B到C，再結(jié)合△DEG≌△BFG可得到DE=BF，DG=BG，或DE=BG，DG=BF可得到方程，解出時間t和y的值即可；
（3）同（2）即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵AD=BC=10，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC；
（2）解：設(shè)G點的移動距離為y，
當(dāng)△DEG與△BFG時有：∠EDG=∠FBG，
∴DE=BF，DG=BG，或DE=BG，DG=BF，
當(dāng)F由C到B，即0＜t≤$\frac{10}{3}$時，
則有$\left\{\begin{array}{l}{t=10-3t}\\{y=12-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=2.5}\\{y=6}\end{array}\right.$；
或$\left\{\begin{array}{l}{t=y}\\{10-3t=12-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$（舍去）；
當(dāng)F由B到C，即$\frac{10}{3}$＜t≤$\frac{20}{3}$時，
有$\left\{\begin{array}{l}{t=3t-10}\\{y=12-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=5}\\{y=6}\end{array}\right.$；
或$\left\{\begin{array}{l}{t=y}\\{3t-10=12-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=5.5}\\{y=5.5}\end{array}\right.$；
綜上可知共有3次，移動的時間分別為2.5秒、5秒、5.5秒，移動的距離分別為6、6、5.5．
（3）解：設(shè)G點的移動距離為y，
當(dāng)△DEG與△BFG時有：∠EDG=∠FBG，
∴DE=BF，DG=BG，或DE=BG，DG=BF，
當(dāng)F由C到B，即0＜t≤$\frac{10}{3}$時，
則有$\left\{\begin{array}{l}{t=3t-10}\\{y=8-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=2.5}\\{y=4}\end{array}\right.$；
或$\left\{\begin{array}{l}{t=y}\\{10-3t=8-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=1}\\{y=1}\end{array}\right.$；
當(dāng)F由B到C，即$\frac{10}{3}$＜t≤$\frac{20}{3}$時，
有$\left\{\begin{array}{l}{t=3t-10}\\{y=8-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=5}\\{y=4}\end{array}\right.$；
或$\left\{\begin{array}{l}{t=y}\\{3t-10=8-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=4.5}\\{y=4.5}\end{array}\right.$．
綜上可知共有4次，移動的時間分別為2.5秒、1秒、5秒，、4.5秒；
故答案為：4，2.5秒、1秒、5秒，、4.5秒

點評 本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、類比思想方法解方程組等知識；第（2）題解題的關(guān)鍵是利用好三角形全等，從而得到方程解得．