Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D．
（1）若BC=8，ED=2，求⊙O的半徑；
（2）連接CD，設(shè)∠BDC=α，∠ABC=β，探究α與β之間的關(guān)系式，并給予適當(dāng)?shù)恼f明．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,圓周角定理

專題：

分析：（1）設(shè)⊙O的半徑為r，則EO=r-2，在Rt△BOE中，根據(jù)勾股定理可得r²=4²+（r-2）²，再解出r即可；
（2）連接CD，根據(jù)直徑所對的圓周角為90°可得∠A+β=90°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可得∠A+α=180°，進(jìn)而可得α-β=90°．

解答：解：（1）設(shè)⊙O的半徑為r，即BO=DO=r，
∵ED=2，
∴EO=r-2，
∵DO⊥BC，
∴BE=CE=

1

2

BC=4，
在Rt△BOE中，r²=4²+（r-2）²，
解得：r=5，
即⊙O的半徑為5；

（2）α-β=90°，
理由：連接CD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠A+β=90°，
∵∠A+α=180°，
∴α-β=90°．

點(diǎn)評：此題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，以及圓內(nèi)接四邊形，關(guān)鍵是掌握垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．