Question

3．如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，過(guò)D，F(xiàn)，C三點(diǎn)的⊙O交AB于點(diǎn)G，連接CG，CD，作DE⊥CD，交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若tanA=$\frac{3}{4}$，求cos∠ADE的值．

Answer 1

分析 （1）連接DF，根據(jù)三角形中位線定理即可證得∠DFC=90°，根據(jù)圓周角定理得出DC是直徑，即可判定DE是⊙O的切線；
（2）根據(jù)已知證得$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，設(shè)AC=4x，BC=3x，則AB=5x，由D為AB的中點(diǎn)，得出CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$x，進(jìn)一步求得CG=$\frac{12}{5}$x，從而求得cos∠DCG=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{24}{25}$，根據(jù)同角的余角相等得出∠ADE=∠DCG，即可求得cos∠ADE=$\frac{24}{25}$．

解答 （1）證明：連接DF，
∵D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，
∴DF∥BC，
∴∠DFC+∠ACB=180°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DFC=90°，
∴DC是直徑，
∵DE⊥CD，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，tanA=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
設(shè)AC=4x，BC=3x，則AB=5x，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$x，
∵sin∠A=$\frac{CG}{AC}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴CG=$\frac{3x}{5x}$•4x=$\frac{12}{5}$x，
∴$\frac{CG}{CD}$=$\frac{\frac{12x}{5}}{\frac{5x}{2}}$=$\frac{24}{25}$，
∴cos∠DCG=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{24}{25}$，
∵∠EDC=90°，
∴∠ADE+∠GDC=90°，
∵DC是直徑，
∴∠DGC=90°，
∴∠DCG+∠GDC=90°，
∴∠ADE=∠DCG，
∴cos∠ADE=$\frac{24}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，圓周角定理以及直角三角函數(shù)等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．