Question

10．閱讀下列解題過(guò)程：
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$=$\frac{1×（\sqrt{5}-\sqrt{4}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{4}）（\sqrt{5}-\sqrt{4）}}$=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{4}）^{2}}$=$\sqrt{5}$$-\sqrt{4}$
$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=$\frac{1×（\sqrt{6}-\sqrt{5}）}{（\sqrt{6}+\sqrt{5}）（\sqrt{6}-\sqrt{5}）}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{（\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{6}$$-\sqrt{5}$
請(qǐng)解下列問(wèn)題：
（1）根據(jù)上面的解答過(guò)程，寫出$\frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}$的解答過(guò)程；
（2）根據(jù)上面的規(guī)律，請(qǐng)直接寫出$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（3）利用上面的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}$+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$；
（4）你能根據(jù)上面的知識(shí)化簡(jiǎn)$\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$嗎？若能，請(qǐng)寫出化簡(jiǎn)過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）把分子分母都乘以（$\sqrt{2014}$-$\sqrt{2013}$），然后利用平方差公式計(jì)算即可；
（2）利用前面的計(jì)算結(jié)果可得到兩相鄰非負(fù)整數(shù)的算術(shù)平方根的和的倒數(shù)等于它們的算術(shù)平方根的差；
（3）利用（2）中的規(guī)律易得原式=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{99}$-$\sqrt{98}$+$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$，然后合并即可；
（4）把分子分母都乘以$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$，然后利用平方差公式計(jì)算．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}$=$\frac{1×（\sqrt{2014}-\sqrt{2013}）}{（\sqrt{2014}+\sqrt{2013}）（\sqrt{2014}-\sqrt{2013}）}$=$\frac{\sqrt{2014}-\sqrt{2013}}{（\sqrt{2014}）^{2}-（\sqrt{2013}）^{2}}$=$\sqrt{2014}$-$\sqrt{2013}$；
（2）$\frac{1×（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（3）原式=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{98}}$+$\frac{1}{\sqrt{100}-\sqrt{99}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{99}$-$\sqrt{98}$+$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$
=$\sqrt{100}$-1
=10-1
=9；
（4）$\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$=$\frac{1×（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）}{（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）}$=$\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}）^{2}-（\sqrt{n}）^{2}}$=$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去；分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．