Question

14．設(shè)A=$\frac{a-2}{{1+2a+{a^2}}}$÷（a-$\frac{3a}{a+1}}$）．
（1）化簡(jiǎn)A；
（2）當(dāng)a=3時(shí)，記此時(shí)A的值為f（3）；當(dāng)a=4時(shí)，記此時(shí)A的值為f（4）；…
解關(guān)于x的不等式：$\frac{x-2}{2}$-$\frac{7-x}{4}$≤f（3）+f（4）+…+f（11），并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分式的除法和減法可以解答本題；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果可以解答題目中的不等式并在數(shù)軸上表示出不等式的解集．

解答 解：（1）A=$\frac{a-2}{{1+2a+{a^2}}}$÷（a-$\frac{3a}{a+1}}$）
=$\frac{a-2}{（a+1）^{2}}÷\frac{a（a+1）-3a}{a+1}$
=$\frac{a-2}{（a+1）^{2}}•\frac{a+1}{{a}^{2}-2a}$
=$\frac{a-2}{（a+1）^{2}}•\frac{a+1}{a（a-2）}$
=$\frac{1}{a（a+1）}$
=$\frac{1}{{a}^{2}+a}$；

（2）∵a=3時(shí)，f（3）=$\frac{1}{{3}^{2}+3}=\frac{1}{12}$，
a=4時(shí)，f（4）=$\frac{1}{{4}^{2}+4}=\frac{1}{20}$，
a=5時(shí)，f（5）=$\frac{1}{{5}^{2}+5}=\frac{1}{30}$，
…
∴$\frac{x-2}{2}$-$\frac{7-x}{4}$≤f（3）+f（4）+…+f（11），
即$\frac{x-2}{2}$-$\frac{7-x}{4}$≤$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{11×12}$
∴$\frac{x-2}{2}$-$\frac{7-x}{4}$≤$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{11}-\frac{1}{12}$，
∴$\frac{x-2}{2}$-$\frac{7-x}{4}$≤$\frac{1}{3}-\frac{1}{12}$，
∴$\frac{x-2}{2}$-$\frac{7-x}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
解得，x≤4，
∴原不等式的解集是x≤4，在數(shù)軸上表示如下所示，
．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分式的混合運(yùn)算、在數(shù)軸表示不等式的解集、解一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確分式的混合運(yùn)算的計(jì)算方法和解不等式的方法．