Question

5．已知：AB為⊙O的直徑，AB=2，弦DE=1，直線AD與BE相交于點C，弦DE在⊙O上運動且保持長度不變，⊙O的切線DF交BC于點F．
（1）如圖1，若DE∥AB，求證：CF=EF；
（2）如圖2，當點E運動至與點B重合時，試判斷CF與BF是否相等，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OD、OE，證得△OAD、△ODE、△OEB、△CDE是等邊三角形，進一步證得DF⊥CE即可證得結論；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可證得結論．

解答 證明：如圖1，連接OD、OE，
∵AB=2，
∴OA=OD=OE=OB=1，
∵DE=1，
∴OD=OE=DE，
∴△ODE是等邊三角形，
∴∠ODE=∠OED=60°，
∵DE∥AB，
∴∠AOD=∠ODE=60°，∠EOB=∠OED=60°，
∴△AOD和△BOE是等邊三角形，
∴∠OAD=∠OBE=60°，
∴∠CDE=∠OAD=60°，∠CED=∠OBE=60°，
∴△CDE是等邊三角形，
∵DF是⊙O的切線，
∴OD⊥DF，
∴∠EDF=90°-60°=30°，
∴∠DFE=90°，
∴DF⊥CE，
∴CF=EF；

（2）相等；
如圖2，點E運動至與點B重合時，BC是⊙O的切線，
∵⊙O的切線DF交BC于點F，
∴BF=DF，
∴∠BDF=∠DBF，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∴∠FDC=∠C，
∴DF=CF，
∴BF=CF．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定、等腰三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構建等邊三角形是解題的關鍵．