Question

14．在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分別以OB，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，F(xiàn)是邊BC上的一個動點（不與B，C重合），過點F的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象與邊AC交于點E，連接OE，OF．
（1）若CF=2BF，求△EOF的面積；
（2）求tan∠EFC的值；
（3）是否存在這樣的點F，使得△CEF沿EF折疊后，點C恰好落在OB上？若存在，求出反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的函數(shù)表達式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)條件求出點F坐標，即可求出反比例函數(shù)解析式，再用面積的差即可確定出結論；
（2）設出點F坐標，進而表示出CF，EC即可得出結論；
（3）先作出輔助線判斷出Rt△MED∽Rt△BDF，再確定出點E，F(xiàn)坐標進而ED=4-$\frac{k}{3}$，DF=3-$\frac{k}{4}$，求出BD，最后用勾股定理建立方程求出k即可得出結論．

解答 解：（1）在矩形AOBC中，BC=OA=3，OB=4，
∵CF=2BF，
∴BC=CF+BF=3BF=3，
∴BF=1，
∴F（4，1），
∵F在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上，
∴k=4，
∴E（$\frac{4}{3}$，3），
∴S_△EOF=S_矩形OACB-S_△OAE-S_△OBF-S_△CEF
=4×3-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$×4×1-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{8}{3}$
=$\frac{16}{3}$；
（2）設點F（4，a），
∴k=4a，
∴E（$\frac{4}{3}$a，3），
∴CF=3-a，EC=4-$\frac{4}{3}$a=$\frac{4（3-a）}{3}$，
在Rt△ECF中，tan∠EFC=$\frac{EC}{FC}$=$\frac{\frac{4（3-a）}{3}}{3-a}$=$\frac{4}{3}$；
（3）如圖，

設將△CEF沿EF折疊后，點C恰好落在OB上的D點處，
∴∠EDF=∠C=90°，EC=ED，CF=DF，
∴∠MDE+FDB=90°，
過點E作EM⊥OB，
∴∠MDE+∠MED=90°，
∴∠MED=∠FDB，
∴Rt△MED∽Rt△BDF，
∴$\frac{EM}{DB}=\frac{ED}{DF}$，
∵點E（$\frac{k}{3}$，3），F(xiàn)（4，$\frac{k}{4}$），
∴EC=AC-AE=4-$\frac{k}{3}$，CF=BC-BF=3-$\frac{k}{4}$，
∴ED=4-$\frac{k}{3}$，DF=3-$\frac{k}{4}$，
∵EM=3，
∴$\frac{3}{DB}=\frac{4-\frac{k}{3}}{3-\frac{k}{4}}$，
∴DB=$\frac{9}{4}$，
在Rt△DBF中，DF²=DB²+BF²，
即：（3-$\frac{k}{4}$）²=（$\frac{9}{4}$）²+（$\frac{k}{4}$）²，
∴k=$\frac{21}{8}$，
∴反比例函數(shù)表達式為y=$\frac{21}{8x}$．此時F（4，$\frac{21}{32}$）．

點評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了根據(jù)條件求反比例函數(shù)解析式及其應用，利用圖形性質表示出相關點的坐標，根據(jù)點與函數(shù)的關系找出關系式，涉及內容有銳角三角函數(shù)，三角形相似的性質和判定，勾股定理的應用，注意點（m，n）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，則mn=k的利用是解本題的關鍵．