Question

2．如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標軸上，點B的坐標為（-3，3）．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動；點Q從點O同時出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運動，規(guī)定點P到達點O時，點Q也停止運動．連接BP，過P點作BP的垂線，與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D．BD與y軸交于點E，連接PE．設點P運動的時間為t（s）．
（1）求證：△BAP≌△PQD
（2）求：∠EBP的度數(shù)與點D的坐標 （用含t的代數(shù)式表示）；
（3）探索△POE周長是否隨時間t的變化而變化？若變化，說明理由；若不變，試求這個定值．

Answer 1

分析 （1）由題可得：AP=OQ=1×t=t得到AO=PQ，根據正方形的性質得到AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°，由垂直的定義得到∠BPD=90°，根據余角的性質得到∠BPA=∠PDQ，等量代換得到AB=PQ，于是得到結論；
（2）由（1）證得△BAP≌△PQD，從而得到DQ=AP=t，從而可以求出∠PBD的度數(shù)和點D的坐標；
（3）由于∠EBP=45°，故圖1是以正方形為背景的一個基本圖形，容易得到EP=AP+CE．容易得到△POE周長等于AO+CO=8，從而解決問題．

解答 解：（1）如圖，由題可得：AP=OQ=1×t=t（秒）
∴AO=PQ，
∵四邊形OABC是正方形，
∴AO=AB=BC=OC，
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°，
∵DP⊥BP，
∴∠BPD=90°，
∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ，
∵AO=PQ，AO=AB，
∴AB=PQ，
在△BAP和△PQD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠PQD}\\{∠BPA=∠PDQ}\\{AB=PQ}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△PQD；

（2）∵△BAP≌△PQD，
∴AP=QD，BP=PD．
∵∠BPD=90°，BP=PD，
∴∠PBD=∠PDB=45°．
∵AP=t，
∴DQ=t．
∴點D坐標為（t，t）；

（3）∵∠EBP=45°
∴由圖1可以得到EP=CE+AP，
∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE
=AO+CO
=3+3
=6．
∴△POE周長是定值，該定值為6．

點評 本題考查了正方形的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的性質與判定、勾股定理等知識，熟悉正方形與一個度數(shù)為45°的角組成的基本圖形（其中角的頂點與正方形的一個頂點重合，角的兩邊與正方形的兩邊分別相交）是解決本題的關鍵．