Question

3．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明；
（2）連接OE交⊙O于F，連接DF，若tan∠EDF=$\frac{1}{2}$，求cos∠DEF的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OD，AD，由AB為⊙O的直徑，得到AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AO=BO，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到OD⊥DE，于是得到結(jié)論；
（2）如圖2，延長(zhǎng)EO，交⊙O于N，連接DN，OD，由DE與⊙O相切，得到∠EDF=∠DNF根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{EF}{ED}$=$\frac{DF}{DN}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)EF=1，DE=2，根據(jù)勾股定理得到OD=$\frac{3}{2}$，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）DE與⊙O相切，
理由：如圖1，連接OD，AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切；

（2）如圖2，延長(zhǎng)EO，交⊙O于N，連接DN，OD，
∵DE與⊙O相切，
∴∠EDF=∠DNF，∴tan∠EDF=tan∠DNF=$\frac{1}{2}$，
∵∠FED=∠NED，
∴△△EDF∽△END，∴$\frac{EF}{ED}$=$\frac{DF}{DN}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)EF=1，DE=2，
∵∠ODE=∠NDF=90°，
∴OD²+DE²=（OD+EF）²，
∴OD=$\frac{3}{2}$，∴OE=$\frac{5}{2}$
∴cos∠DEF=$\frac{DE}{OE}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．