Question

13．如圖，等腰三角形ABC中，∠AC=90°，D，E分別為AB，AC邊上的點(diǎn)，AD=AE，AF⊥BE交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD，交BE于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)M．
（1）求證：GM=GE；
（2）求證：BG=AF+FG．

Answer 1

分析 （1）先判定△ACD≌△ABE（SAS），得出∠ADC=∠AEB，再根據(jù)同角的余角相等，得出∠CMG=∠ADC，進(jìn)而得到∠CMG=∠AEB，最后根據(jù)等角對(duì)等邊得出結(jié)論；
（2）先過(guò)B作AB的垂線，交MF的延長(zhǎng)線于N，根據(jù)ASA判定△ABF≌△NBF，得出對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，再根據(jù)同角的余角相等，得出∠GBN=∠BAF=∠N，進(jìn)而判定BG=NG，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，
又∵AD=AE，∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ADC=∠AEB，
又∵∠CAD=90°，MF⊥CG，
∴∠ADC+∠ACD=90°，∠CMG+∠ACD=90°，
∴∠CMG=∠ADC，
∴∠CMG=∠AEB，
∴EG=MG；

（2）如圖，過(guò)B作AB的垂線，交MF的延長(zhǎng)線于N，則∠NBF=∠ABC=45°，
由（1）可得，△ACD≌△ABE，
∴∠ACD=∠ABE，
又∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠GCF=∠EBF，
又∵FM⊥CD，AF⊥BE，
∴∠GFC=∠AFB，而∠GFC=∠NFB，
∴∠AFB=∠NFB，
由∠NBF=∠ABF，BF=BF，∠AFB=∠NFB，可得△ABF≌△NBF（ASA），
∴AF=NF，∠N=∠FAB，
∵AB⊥NB，AF⊥BE，
∴∠GBN+∠ABE=90°，∠BAF+∠ABE=90°，
∴∠GBN=∠BAF=∠N，
∴GN=GB，
即GF+FN=GB，
∴GF+AF=GB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．解決第二問(wèn)的證明時(shí)，要學(xué)會(huì)判斷三條線段之間的關(guān)系，一般都需要轉(zhuǎn)化到同一條直線上進(jìn)行．