Question

4．已知平面直角坐標系xOy（如圖），雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）與直線y=x+2都經(jīng)過點A（2，m）．
（1）求k與m的值；
（2）此雙曲線又經(jīng)過點B（n，2），過點B的直線BC與直線y=x+2平行交y軸于點C，聯(lián)結(jié)AB、AC，求△ABC的面積；
（3）若（2）的條件下，設直線y=x+2與y軸交于點D，在射線CB上有一點E，如果以點A、C、E所組成的三角形與△ACD相似，且相似比不為1，求點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）可把A點坐標代入直線解析式求得m，再把A點坐標代入反比例函數(shù)解析式可求得k；
（2）可先求得B點坐標，再求得直線BC的方程，可求得C點坐標，可判斷△ABC為直角三角形，可求得其面積；
（3）先求得D點坐標，計算出AD、CD、AC長，結(jié)合條件只有△ACD∽△CAE，再由相似三角形的性質(zhì)可求得CE長，設出E點坐標，表示出CE長，可求得E點坐標．

解答 解：（1）∵直線y=x+2都經(jīng)過點A（2，m），
∴m=2+2=4，則A（2，4），
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）經(jīng)過點A，
∴k=2×4=8；
（2）∵雙曲線經(jīng)過點B（n，2），
∴2n=8，解得n=4，
∴B（4，2），
由題意可設直線BC解析式為y=x+b，
把B點坐標代入可得2=4+b，解得b=-2，
∴直線BC解析式為y=x-2，
∴C（0，-2），
∴AC=$\sqrt{（2-0）^{2}+[4-（-2）]^{2}}$=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{（4-0）^{2}+[2-（-2）]^{2}}$=$\sqrt{32}$=4$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{（4-2）^{2}+（2-4）^{2}}$=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
∴BC²+AB²=AC²，
∴△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=8；
（3）∵直線y=x+2與y軸交于點D，
∴D（0，2），
∴AD=$\sqrt{（2-0）^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，且AC=2$\sqrt{10}$
如圖所示，

∵AD∥CE，
∴∠DAC=∠ACE，
若∠ACD=∠EAC，則AE∥CD，四邊形AECD為平行四邊形，此時△ADC≌△CEA，不滿足條件，
∴∠ACD=∠AEC，
∴△ACD∽△CAE，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{CE}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{CE}$，解得CE=10$\sqrt{2}$，
∵E點在直線BC上，
∴可設E（x，x-2）（x＞0），
又∵C（0，-2），
∴CE=$\sqrt{（x-0）^{2}+[x-2-（-2）]^{2}}$=$\sqrt{2}$x，
∴$\sqrt{2}$x=10$\sqrt{2}$，解得x=10，
∴E點坐標為（10，8）．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)的綜合應用，涉及知識點有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、直角三角形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等．在（1）中注意反比例函數(shù)中k=xy的應用，在（2）中判定△ABC為直角三角形是解題的關鍵，在（3）中根據(jù)相似求得CE的長是解題的關鍵．本題涉及知識點較多，綜合性較強，難度較大．