Question

15．如圖，拋物線y=m（x-s）²+3經(jīng)過正方形OABC的兩個頂點B、C，且拋物線頂點D在正方形OABC內(nèi)部．
（1）若直線y=x+1經(jīng)過點D，求s，m的值；
（2）在（1）的條件下，直線l₁：y=kx，點A關(guān)于直線l₁的對稱點A′，且點A′的橫、縱坐標中有一個坐標與D點的相同，求A′點的坐標；
（3）在（2）的條件下，若點A′在第一象限，且直線l₂：y=kx+b經(jīng)過點D，求b值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出點D、B的坐標，即可解決問題；
（2）過點D作x軸的平行線l交y軸于N，對稱軸交x軸于M，以O(shè)為圓心畫弧，交直線l于A′₁，A′₂，交對稱軸于A′₃，A′₄，利用勾股定理即可求出點A的坐標；
（3）求出直線AA′2、AA′₃的解析式，根據(jù)兩直線垂直確定k的值，再利用待定系數(shù)法即可解決問題；

解答 解：（1）∵拋物線的頂點D（s，3），直線y=x+1經(jīng)過點D，
∴3=s+1，
∴s=2，
∴D（2，3），A（4，0），B（4，4）．
把B（4，4）代入拋物線y=m（x-2）²+3中，得到m=$\frac{1}{4}$，
∴s=2，m=$\frac{1}{4}$；

（2）過點D作x軸的平行線l交y軸于N，對稱軸交x軸于M，以O(shè)為圓心畫弧，交直線l于A′₁，A′₂，交對稱軸于A′₃，A′₄，
在Rt△ONA′₁中，A′₁N=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴A′₁（-$\sqrt{7}$，3），A′₂（$\sqrt{7}$，3），
在Rt△A′₃OM中，A′₃M=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴A′₃（2，2$\sqrt{3}$），A′₄（2，-2$\sqrt{3}$）．
∴滿足條件的點A的坐標為（2，±2$\sqrt{3}$）或（±$\sqrt{7}$，3）；

（3）∵點A′在第一象限，直線AA′₂的解析式為y=$\frac{3}{\sqrt{7}-4}$x+$\frac{12}{4-\sqrt{7}}$，
直線y=kx與直線y=$\frac{3}{\sqrt{7}-4}$x+$\frac{12}{4-\sqrt{7}}$垂直，
∴k=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，
∵y=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$x+b經(jīng)過點D（2，3），
∴3=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$×2+b，
∴b=$\frac{1+2\sqrt{7}}{3}$，
∵直線AA′₃的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$，
∵直線y=kx與直線y=-$\sqrt{3}x$+4$\sqrt{3}$垂直，
∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b經(jīng)過點D（2，3），
∴3=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+b，
∴b=3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
綜上所述，滿足條件的b的值為3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{1+2\sqrt{7}}{3}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、正方形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、兩直線垂直k的乘積為-1、軸對稱、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．