Question

15．已知：如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，OD到點(diǎn)E，使OF=2OA，OE=2OD，連結(jié)EF，將△FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到△F′OE′（如圖2）．
（1）證明AE′=BF′；
（2）當(dāng)α=30°時(shí)，求證：△AOE′為直角三角形．

Answer 1

分析 （1）利用旋轉(zhuǎn)不變量找到相等的角和線段，證得△E′AO≌△F′BO后即可證得結(jié)論；
（2）利用已知角，得出∠GAE′=∠GE′A=30°，從而證明直角三角形．

解答 （1）證明：∵O為正方形ABCD的中心，
∴OA=OD，
∵OF=2OA，OE=2OD，
∴OE=OF，
∵將△EOF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到△E′OF′，
∴OE′=OF′，
∵∠F′OB=∠E′OA，OA=OB，
在△E′AO和△F′BO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE′=OF′}\\{∠F′OB=∠E′OA}\\{OA=OB}\end{array}\right.$
∴△E′AO≌△F′BO，
∴AE′=BF′；  
（2）證明：∵取OE′中點(diǎn)G，連接AG，
∵∠AOD=90°，α=30°，
∴∠E′OA=90°-α=60°，
∵OE′=2OA，
∴OA=OG，
∴∠E′OA=∠AGO=∠OAG=60°，
∴AG=GE′，
∴∠GAE′=∠GE′A=30°，
∴∠E′AO=90°，
∴△AOE′為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，利用正方形的特殊性質(zhì)求解．本題結(jié)合了三角形全等并且涉及到探究性的問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)．對(duì)基本的知識(shí)點(diǎn)有很清楚的認(rèn)識(shí)并熟練掌握是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．