Question

12．矩形的一條對(duì)角線長(zhǎng)是9cm，它與矩形一邊夾角的余弦值是$\frac{1}{3}$，那么矩形的周長(zhǎng)等于（6+12$\sqrt{2}$）cm．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形，可以得到存在兩種情況，分別求出矩形的周長(zhǎng)，本題得以解決．

解答 解：如右圖所示，
當(dāng)∠ACB的余弦值為$\frac{1}{3}$時(shí)，
則cos∠ACB=$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，
∵AC=9cm，
∴BC=3cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}=6\sqrt{2}$cm，
∴矩形的周長(zhǎng)是：3+3+$6\sqrt{2}+6\sqrt{2}$=6+12$\sqrt{2}$；
當(dāng)∠BAC的余弦值為$\frac{1}{3}$時(shí)，
則cos∠BAC=$\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}$，
∵AC=9cm，
∴AB=3cm，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}=6\sqrt{2}$cm，
∴矩形的周長(zhǎng)是：3+3+$6\sqrt{2}+6\sqrt{2}$=6+12$\sqrt{2}$（cm）；
由上可得，矩形的周長(zhǎng)是：（6+12$\sqrt{2}$）cm，
故答案為：（6+12$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解直角三角形、矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．