Question

17．如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF．下列結(jié)論：
①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S_△ABG=S_△AFG；⑤∠AGB+∠AED=145°．
其中正確的個(gè)數(shù)有4個(gè)．

Answer 1

分析 根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理可證BG=GC；通過證明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行線的判定可得AG∥CF；由Rt△ABG≌Rt△AFG，可得S_△ABG=S_△AFG；求得∠GAF=45°，∠AGB+∠AED=180°-∠GAF=135°．

解答 解：∵△AFE是由△ADE折疊得到，
∴AF=AD，∠AFE=∠AFG=∠D=90°，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
故①正確；
∵正方形ABCD中，AB=6，CD=3DE，
∵EF=DE=$\frac{1}{3}$CD=2，
設(shè)BG=FG=x，則CG=6-x．
在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，
解得x=3．
∴BG=3，CG=6-3=3；
∴BG=CG；
∴②正確．
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
∴③正確
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴S_△ABG=S_△AFG；
∴④正確；
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，
又∵∠BAD=90°，
∴∠GAE=45°，
∴∠AGB+∠AED=180°-∠GAE=135°．
∴⑤錯(cuò)誤．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形的綜合題．考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定等知識(shí)．注意折疊中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌握方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．