Question

12．如圖，在矩形ABCD中，AD=8，E是AB邊上一點(diǎn)，且AE=$\frac{1}{4}$AB，⊙O經(jīng)過點(diǎn)E，若⊙O與邊CD所在直線相切于點(diǎn)G（∠GEB為銳角），與邊AB所在射線相交于另一點(diǎn)F，且EG：EF=$\sqrt{5}$：2．
（1）求⊙O的半徑r；
（2）當(dāng)邊AD或BC所在直線與⊙O相切時(shí)，直接寫出AE的長(zhǎng)；以及⊙O與矩形ABCD邊的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連接GO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H，由切線的性質(zhì)易得HG⊥CD，由矩形的性質(zhì)易證得四邊形AHGD為矩形，設(shè)EG=$\sqrt{5}$m，則EH=m，在Rt△GEH中，由勾股定理易得m，即得EH的長(zhǎng)，在Rt△OEH中，由勾股定理可得r的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)⊙O與AD相切時(shí)，由切線的性質(zhì)和半徑可得AE=1，求出AB的邊長(zhǎng)可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)；當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，同理可得，此時(shí)AE=3，求出AB的邊長(zhǎng)可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）連接GO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H，
∵CD與⊙O相切于點(diǎn)G，
∴HG⊥CD，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB∥CD，
∴GH⊥AB，
即GH⊥EF，
∴EH=HF=$\frac{1}{2}EF$，
∵矩形ABCD中，AD=8，
∴∠D=∠A=∠AHG=90°，
∴四邊形AHGD為矩形，GH=AD=8，
∴在Rt△GEH中，EG：EF=$\sqrt{5}$：2，
設(shè)EG=$\sqrt{5}$m，則EH=m，
∴EG²-EH²=GH²，
則m=±4，EH=4，
在Rt△OEH中，由勾股定理得r²=4²+（8-r）²，
解得：r=5；

（2）當(dāng)⊙O與AD相切時(shí)，此時(shí)AE=AH-EH=r-EH=5-4=1，
∵AE=$\frac{1}{4}$AB，
∴AB=4，
∴⊙O與矩形ABCD邊有3個(gè)公共點(diǎn)，如圖所示；
當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，
∵EH=4，BH=r=5，
∴BE=4+5=9，
∵AE=$\frac{1}{4}$AB，
∴BE=$\frac{3}{4}$AB，
∴AB=12，
∴AE=3．
∴⊙O與矩形ABCD邊有4個(gè)公共點(diǎn)，如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的性質(zhì)，連接圓心和切點(diǎn)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．