Question

11．如圖，已知△ABC中∠A=30°，∠C=90°，AB=4，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′．在整個旋轉(zhuǎn)過程中．
（1）求線段AC掃過部分區(qū)域扇形CAA′的面積．
（2）作CD⊥AB于D，點D′為點D旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，則線段AD掃過部分區(qū)域是由哪些線段和圓所圍成的？
（3）求出線段AB掃過部分區(qū)域的面積．注：第（2）（3）題只要給出直接結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）在RT△ABC中，AB=4、BC=2、AC=2$\sqrt{3}$，根據(jù)扇形面積公式可求扇形CAA′的面積；
（2）線段AD掃過部分區(qū)域是由AD、$\widehat{DD′}$、AD′、$\widehat{AA′}$所圍成的；
（3）線段AB掃過部分區(qū)域的面積═S_扇形CAA′+S_△ABC-S△_A′B′C-S_扇形CBB′，列式計算可得．

解答 解：（1）在RT△ABC中，∵∠A=30°，AB=4，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2，AC=2$\sqrt{3}$，
∴S_扇形CAA′=$\frac{90•π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=3π；
（2）如圖，線段AD掃過部分區(qū)域是由AD、$\widehat{DD′}$、AD′、$\widehat{AA′}$所圍成的；

（3）線段AB掃過部分區(qū)域的面積=S_扇形CAA′+S_△ABC-S△_A′B′C-S_扇形CBB′
=$\frac{90•π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{90•π•{2}^{2}}{360}$
=2π．

點評 此題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，以及扇形面積的計算，熟練掌握扇形面積公式是解本題的關(guān)鍵．