Question

如圖①，已知C是線段AB上的一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊長在AB的同側(cè)作等邊△ADC和△CBE，
（1）你能證明AE與BD相等嗎？為什么？
（2）如圖②，當(dāng)?shù)冗叀鰿BE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后，上述結(jié)論是否仍成立？為什么？
（3）在圖①中，連CK，試證明：KC平分∠AKB．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）AE=BD，理由為：由三角形ACD與三角形BCE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到AC=CD，CB=CE，且∠ACD=∠BCE=60°，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ACE與三角形DCB全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）結(jié)論仍然成立，理由為：由三角形ACD與三角形BCE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到AC=CD，CB=CE，且∠ACD=∠BCE=60°，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ACE與三角形DCB全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證；
（3）連接CK，過C作CG⊥AE，CH⊥BD，由三角形ACE與三角形DCB全等，得到兩三角形面積相等，由AE=BD，得到CG=CH，利用角平分線定理即可得證．

解答：解：（1）AE=BD，理由為：
∵△ACD與△BCE都為等邊三角形，
∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
（2）結(jié)論仍然成立，即AE=BD，理由為：
∵△ACD與△BCE都為等邊三角形，
∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
（3）連接CK，過C作CG⊥AE，CH⊥BD，
∵△ACE≌△DCB，
∴S_△ACE=S_△DCB，即

1

2

AE•CG=

1

2

BD•CH，
∵AE=BD，
∴CG=CH，
∴KC平分∠AKB．

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．