Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=25cm，BC=30cm，點P從點C出發(fā)，沿CA以2.5cm/s的速度向點A運動．同時點Q從B點出發(fā)沿BC以4cm/s的速度向C運動，PQ中有一點到達終點時，兩點同時停止運動，設運動時間為t．
（1）當CQ=CP時，求t的值；
（2）當t為何值時，PQ∥AB；
（3）設△CPQ的面積為S，求S與t的函數關系式，并直接寫出S的取值范圍．

Answer 1

考點：平行線分線段成比例,根據實際問題列二次函數關系式,等腰三角形的性質

專題：動點型

分析：（1）利用兩點運動路線以及結合運動速度得出CQ=30-4t，CP=2.5t，進而求出即可；
（2）利用平行線的性質得出

CQ

CB

=

CP

CA

，進而得出答案；
（3）首先表示出△CPQ的面積為：

1

2

×CP×CQsinC，進而得出答案．

解答：解：（1）在△ABC中AB=AC=25cm，BC=30cm，
點P從點C出發(fā)，沿CA以2.5cm/秒的速度向點A運動，同時點Q從B點出發(fā)沿BC以4cm/秒的速度向點C運動，
PQ中有一點到達終點時，兩點同時停止運動，設運動時間為t，
則CQ=30-4t，CP=2.5t，
∵CQ=CP，
∴30-4t=2.5t，
解得：t=

60

13

，
即當t=

60

13

秒時CQ=CP；

（2）∵PQ∥AB，
∴

CQ

CB

=

CP

CA

，
∴

30-4t

30

=

2.5t

25

，
解得：t=

30

7

；

（3）在等腰三角形ABC中，AB=AC=25cm，BC=30cm，
如圖所示：設BC邊上的高為AD，
則AD=20，sinC=

AD

AC

=

20

25

=

4

5

，
△CPQ的面積為：

1

2

×CP×CQsinC=

1

2

（30-4t）×2.5t×

4

5

=（30-4t）t，
面積S=-（t-

15

4

）²+

225

4

，（0＜t＜7.5），
因為Q點走完BC需要7.5秒，P點走完AC需要10秒，
所以S的取值范圍為：0≤S≤

225

4

．

點評：此題主要考查了平行線分線段成比例定理以及銳角三角函數關系和二次函數應用，注意數形結合表示出△CPQ的面積是解題關鍵．