Question

4．已知二次函數(shù)y=x²-2x-3，點(diǎn)P在該函數(shù)的圖象上，點(diǎn)P到x軸、y軸的距離分別為d₁、d₂．設(shè)d=d₁+d₂，下列結(jié)論中：
①d沒有最大值；
②d沒有最小值；
③-1＜x＜3時(shí)，d隨x的增大而增大；
④滿足d=5的點(diǎn)P有四個(gè)．  
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 找出二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)P所在的象限分段考慮，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找出其最值以及在各段區(qū)間內(nèi)的增減性，對(duì)比4個(gè)結(jié)論即可得知正確的結(jié)論有兩個(gè)．

解答 解：令二次函數(shù)y=x²-2x-3中y=0，即x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
（i）當(dāng)x≤-1時(shí)，d₁=x²-2x-3，d₂=-x，
d=d₁+d₂=x²-3x-3=$（x-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{21}{4}$，
d≥1；
（ii）當(dāng)-1＜x≤0時(shí)，d₁=-x²+2x+3，d₂=-x，
d=-x²+x+3=-$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{13}{4}$，
1＜d≤3；
（iii）當(dāng)0＜x≤3時(shí)，d₁=-x²+2x+3，d₂=x，
d=-x²+3x+3=-$（x-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{21}{4}$，
3≤d≤$\frac{21}{4}$；
（iv）當(dāng)3＜x時(shí)，d₁=x²-2x-3，d₂=x，
d=d₁+d₂=x²-x-3=$（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{13}{4}$，
3＜d．
綜上可知：d有最小值，沒有最大值，即①成立，②不成立；
當(dāng)0＜x≤$\frac{3}{2}$時(shí)，d隨x的增大而增大，$\frac{3}{2}$＜x≤3時(shí)，d隨x的增大而減小，
∴-1＜x＜3時(shí)，d隨x的增大而增大，結(jié)論③不成立；
令d=5，（i）中存在一個(gè)解；（ii）中無解；（iii）中有兩個(gè)解；（iv）中一個(gè)解．
∴滿足d=5的點(diǎn)P有四個(gè)，結(jié)論④成立．
∴正確的結(jié)論有2個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)P所在的區(qū)間進(jìn)行分段．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找出函數(shù)在各段區(qū)間內(nèi)的增減性與最值是關(guān)鍵．