Question

19．如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=$\frac{1}{2}$BC，連結(jié)DE、CF，連接BD交CF于點(diǎn)P．
（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求△DCE的周長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，求△BPC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC 且 AD=BC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到DF=$\frac{1}{2}$AD，又∵CE=$\frac{1}{2}$BC，得到DF∥EC，DF=EC，于是推出四邊形CEDF為平行四邊形；
（2）過(guò)D作DH⊥BE于H，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠DCE=60°，求出CD=4，CH=2，DH=2$\sqrt{3}$，由勾股定理得到DE=$\sqrt{13}$，于是求得結(jié)果；
（3）過(guò)P作PM⊥BC于M，由于PC∥DE，得到△PBC∽△DBE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{PM}{DH}=\frac{BC}{BE}=\frac{2}{3}$，求得DH=2$\sqrt{3}$，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）在平行四邊形ABCD中，
∵AD∥BC 且 AD=BC，
∵F為AC中點(diǎn)，
∴DF=$\frac{1}{2}$AD，又∵CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DF∥EC，DF=EC
∴四邊形CEDF為平行四邊形；

（2）過(guò)D作DH⊥BE于H，
在平行四邊形ABCD中，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCE=60°，
∵AB=4，
∴CD=4，
∴CH=2，DH=2$\sqrt{3}$，
在平行四邊形CEDF中，CE=DF=$\frac{1}{2}$AD=3，
∴EH=1，
∴DE=$\sqrt{13}$，
∴△DCE的周長(zhǎng)=7+$\sqrt{13}$；

（3）過(guò)P作PM⊥BC于M，
∵PC∥DE，
∴△PBC∽△DBE，
∴$\frac{PM}{DH}=\frac{BC}{BE}=\frac{2}{3}$，
∵DH=2$\sqrt{3}$，
∴PM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△BPC=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．