Question

2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=$\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}$與拋物線y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+bx+c$交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-8，與y軸交于點(diǎn)M．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PE⊥AB于點(diǎn)E．
①如圖2，設(shè)△PDE的周長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則x的取值范圍是-8＜x＜2，求l與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值；
②如圖3，連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變，當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好在y軸上時(shí)，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）①利用直線解析式和拋物線解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根據(jù)直線k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式列式整理即可得解，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答；
②點(diǎn)G在y軸上時(shí)，得到△ACP≌△GOA全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PC=AO=2，然后利用二次函數(shù)解析式求解即可．

解答 解：（1）對(duì)于y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$，當(dāng)y=0時(shí)，x=2，當(dāng)x=-8時(shí)，y=-$\frac{15}{2}$，
∴A（2，0），B（-8，-$\frac{15}{2}$），
∵A，B在拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c，
∴0=-1+2b+c，-$\frac{15}{2}$=-16-8b+c，
∴b=-$\frac{3}{4}$，c=$\frac{5}{2}$．
∴y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$．
（2）①設(shè)直線y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$與y軸交于點(diǎn)M，
∴M（0，-$\frac{3}{2}$），
∴OM=$\frac{3}{2}$，
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴AM=$\sqrt{{OA}^{2}{+OM}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴OM：OA：AM=3：4：5，
由題意有：∠PDE=∠OMA，∠AOM=PED=90°，
∴△AOM∽△PED，
∴DE：PE：PD=3：4：5，
∵點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，
∴PD=y_P-y_D=（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$）-（$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4．
∴DE=$\frac{3}{5}$（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4）．PE=$\frac{4}{5}$（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4）
∴l(xiāng)=DE+PE+PD=$\frac{3}{5}$（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4）+$\frac{4}{5}$（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4）+（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4）．
=-$\frac{3}{5}$（x+3）²+15．
∴當(dāng)x=-3時(shí)，l_最大=15．
∵點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上，
∴-8＜x＜2
故答案為-8＜x＜2．
②滿足題意的點(diǎn)有三個(gè)，分別為P₁（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，2），P₂（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$），P₃（$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$），
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)G落在y軸上時(shí)，△ACP≌△GOA，
∴PC=AO=2，
∴-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$=2．
∴x=$\frac{-3±\sqrt{17}}{2}$，
∴P₁（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，2），P₂（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$）．
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，同法可得：P₃（$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$），P₄（$\frac{-7-\sqrt{89}}{2}$，$\frac{-7-\sqrt{89}}{2}$）（舍）
∴滿足題意的點(diǎn)有三個(gè)，分別為P₁（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，2），P₂（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$），P₃（$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$），

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，（1）①利用銳角三角函數(shù)用PD表示出三角形是周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，②難點(diǎn)在于分情況討論．