Question

19．如圖，在△ABC中，點F是BC的中點，點E是線段AB的延長線上的一動點，連接EF，過點C作AB的平行線CD，與線段EF的延長線交于點D，連接CE、BD．
（1）求證：四邊形DBEC是平行四邊形．
（2）若∠ABC=120°，AB=BC=4，則在點E的運動過程中：
①當(dāng)BE=2時，四邊形BECD是矩形，試說明理由；
②當(dāng)BE=4時，四邊形BECD是菱形．

Answer 1

分析 （1）先證明△EBF≌△DCF，可得DC=BE，可證四邊形BECD是平行四邊形；
（2）①根據(jù)四邊形BECD是矩形時，∠CEB=90°，再由∠ABC=120°可得∠ECB=30°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BE=2；
②根據(jù)四邊形BECD是菱形可得BE=EC，再由∠ABC=120°，可得∠CBE=60°，進而可得△CBE是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得答案．

解答 （1）證明：∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，
∵點F是BC的中點，
∴BF=CF，
在△DCF和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠FEB}\\{∠DCF=∠EBF}\\{FC=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴DC=BE，
∴四邊形BECD是平行四邊形；

（2）解：①BE=2；
∵當(dāng)四邊形BECD是矩形時，∠CEB=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°；
∴∠ECB=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=2，
故答案為：2；

②BE=4，
∵四邊形BECD是菱形時，BE=EC，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°，
∴△CBE是等邊三角形，
∴BE=BC=4．
故答案為：4．

點評 此題主要考查了菱形和矩形的性質(zhì)，以及平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握菱形四邊相等，矩形四個角都是直角．