Question

18．如圖，等邊△ABC的邊長為1，在邊AB上有一點P，Q為BC延長線上的一點，且CQ=PA，過點P作PE⊥AC于點E，連接PQ交AC于點D，則DE的長為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 過P作BC的平行線至AC于F，通過求證△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通過證明△APF是等邊三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得ED=$\frac{1}{2}$AC，即可推出ED的長度．

解答 解：過P做BC的平行線至AC于F，
∴∠Q=∠FPD，
∵等邊△ABC，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴△APF是等邊三角形，∴AP=PF，AP=CQ，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵在△PFD和△QCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FPD=∠Q}\\{∠PDF=∠QDC}\\{PF=CQ}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等邊三角形，∴AE=EF，
∴AE+DC=EF+FD，
∴ED=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=1，
∴DE=$\frac{1}{2}$．
故答案為$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查等邊三角形的判定與性質、平行線的性質、全等三角形的判定與性質，關鍵在于正確地作出輔助線，熟練運用相關的性質、定理，認真地進行計算．