Question

20．已知關(guān)于x的方程x²+（2k+1）x+k²+2=0有兩個實數(shù)根x₁、x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）若拋物線y=x²+（2k+1）x+k²+2與x軸交于A、B兩點，O為坐標原點，且OA-OB=1，求k的值．

Answer 1

分析 （1）方程有兩個實數(shù)根，則△≥0，代入系數(shù)即可求解；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系將OA，OB的差用x₁，x₂的和差表示得到方程，從而得到答案．

解答 解：（1）∵方程x²+（2k+1）x+k²+2=0有兩個實數(shù)根△≥0     
（2k+1）²-4（k²+2）≥0       
4k²+4k+1-4k²-14k-16≥0  解得：k≥$\frac{7}{4}$
（2）∵x₁x₂=k²+2≥0
∴A、B兩點位于y軸的同側(cè)
     設(shè)A，B兩點的坐標為（x₁，0），（x₂，0）
∵OB-OB=1，
∴AB=1，
∴|x₁-x₂|=1
（x₁-x₂）=1   
（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1
∴（2k+1）²-4（k²+2）=1
∴k=2

點評 本題將一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系和拋物線與x軸的交點整合，難點在于將點A與點B的距離用x₁，x₂的和差表示，有一定的難度．