Question

3．如圖，點(diǎn)A，B，C在一條直線上，△ABD，△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點(diǎn)M，P，CD交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，BM，求證：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ為等邊三角形．

Answer 1

分析 ①由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可證出△ABE≌△DBC；
②由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠DMA=60°；
③由ASA證明△ABP≌△DBQ，得出對(duì)應(yīng)邊相等BP=BQ，即可得出△BPQ為等邊三角形；

解答 證明：①∵△ABD、△BCE為等邊三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
②∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
③在△ABP和△DBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠BDQ}\\{AB=DB}\\{∠ABP=∠DBQ=60°}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，此題圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)識(shí)圖，找準(zhǔn)全等的三角形．