Question

9．已知：關(guān)于x的一元二次方程tx²-（3t+2）x+2t+2=0（t＞0）
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），若y是關(guān)于t的函數(shù)，且y=x₂-2x₁，求這個函數(shù)的解析式，并畫出函數(shù)圖象；
（3）觀察（2）中的函數(shù)圖象，當(dāng)y≥2t時，寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）計算判別式的值得到△=（t+2）²，從而得到△＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）利用公式法解方程得到x₁=1，x₂=2+$\frac{2}{t}$，y=x₂-2x₁=$\frac{2}{t}$，然后利用描點法畫函數(shù)圖象；
（3）計算y=$\frac{2}{t}$與y=2t的交點，然后利用圖象法寫出滿足y≥2t所對應(yīng)的自變量的范圍．

解答 （1）證明：△=9（3t+2）²-4t（2t+2）=（t+2）²，
∵t＞0，
∴（t+2）²＞0，即△＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：x=$\frac{3t+2±（t+2）}{2t}$，
∵t＞0，
∴x₁=1，x₂=2+$\frac{2}{t}$，
∴y=x₂-2x₁=2+$\frac{2}{t}$-2×1=$\frac{2}{t}$，
即y=$\frac{2}{t}$（t＞0）；
如圖，

（4）當(dāng)y≥2t時，0＜t≤1．

點評 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了反比例函數(shù)圖象．