Question

5個(gè)有理數(shù)兩兩的乘積是如下的10個(gè)數(shù)：
-12，0.168，0.2，80，-12.6，-15，-6000，0.21，84，100．
請確定這5個(gè)有理數(shù)，并簡述理由．

Answer 1

考點(diǎn)：有理數(shù)無理數(shù)的概念與運(yùn)算

專題：代數(shù)綜合題,分類討論

分析：首先將將5個(gè)有理數(shù)兩兩的乘積由小到大排列，由5個(gè)有理數(shù)的兩兩乘積中有4個(gè)負(fù)數(shù)且沒有0，可得這5個(gè)有理數(shù)中有1個(gè)負(fù)數(shù)和4個(gè)正數(shù)，或者1個(gè)正數(shù)和4個(gè)負(fù)數(shù)．再分別從若這5個(gè)有理數(shù)是1負(fù)4正，不妨設(shè)為x₁＜0＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，可得x₁x₅＜x₁x₄＜x₁x₃＜x₁x₂＜0＜x₂x₃＜x₂x₄＜

x2x5 x3x4

＜x₃x₅＜x₄x₅，（其中x₂x₅和x₃x₄的大小關(guān)系暫時(shí)還不能斷定），若這5個(gè)有理數(shù)是4負(fù)1正．不妨設(shè)為：x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜0＜x₅，則x₁x₅＜x₂x₅＜x₃x₅＜x₄x₅＜0＜x₃x₄＜x₂x₄＜

x1x4 x2x3

＜x₁x₃＜x₁x₂，（其中x₁x₄和x₂x₃的大小關(guān)系暫時(shí)還不能斷定），去分析求解即可求得答案．

解答：解：將5個(gè)有理數(shù)兩兩的乘積由小到大排列：
-6000＜-15＜-12.6＜-12＜0.168＜0.2＜0.21＜80＜84＜100．
∵5個(gè)有理數(shù)的兩兩乘積中有4個(gè)負(fù)數(shù)且沒有0，
∴這5個(gè)有理數(shù)中有1個(gè)負(fù)數(shù)和4個(gè)正數(shù)，或者1個(gè)正數(shù)和4個(gè)負(fù)數(shù)．
（1）若這5個(gè)有理數(shù)是1負(fù)4正，不妨設(shè)為x₁＜0＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，
則x₁x₅＜x₁x₄＜x₁x₃＜x₁x₂＜0＜x₂x₃＜x₂x₄＜

x2x5 x3x4

＜x₃x₅＜x₄x₅，（其中x₂x₅和x₃x₄的大小關(guān)系暫時(shí)還不能斷定），
∴x₁x₅=-6000，x₁x₄=-15，x₄x₅=100，
三式相乘，得（x₁x₄x₅）²=9×10⁶，
又∵x₁＜0，x₄＞0，x₅＞0，
∴x₁x₄x₅=-3000，
則x₁=-30，x₄=0.5，x₅=200．
再由x₁=-30，x₁x₂=-12，x₁x₃=-12.6，
得x₂=0.4，x₃=0.42．
經(jīng)檢驗(yàn)x₁=-30，x₂=0.4，x₃=0.42，x₄=0.5，x₅=200滿足題意．
（2）若這5個(gè)有理數(shù)是4負(fù)1正．不妨設(shè)為：x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜0＜x₅，
則x₁x₅＜x₂x₅＜x₃x₅＜x₄x₅＜0＜x₃x₄＜x₂x₄＜

x1x4 x2x3

＜x₁x₃＜x₁x₂，（其中x₁x₄和x₂x₃的大小關(guān)系暫時(shí)還不能斷定），
∴x₁x₅=-6000，x₂x₅=-15，x₁x₂=100，
三式相乘，得（x₁x₂x₅）²=9×10⁶，
又∵x₁＜0，x₂＜0，x₅＞0，
解得x₁x₂x₅=3000，
∴x₁=-200，x₂=-0.5，x₅=30，
再由x₅=30，x₃x₅=-12.6，x₄x₅=-12，
得x₃=-0.42，x₄=-0.4．
經(jīng)檢驗(yàn)，x₁=-200，x₂=-0.5，x₃=-0.42，x₄=-0.4，x₅=30滿足題意．
綜上可得：這5個(gè)有理數(shù)分別是-30，0.4，0.42，0.5，200或-200，-0.5，-0.42，-0.4，30．

點(diǎn)評：此題考查了有理數(shù)的概念與運(yùn)算．此題難度較大，注意根據(jù)題意得到這5個(gè)有理數(shù)中有1個(gè)負(fù)數(shù)和4個(gè)正數(shù)，或者1個(gè)正數(shù)和4個(gè)負(fù)數(shù)，然后分類討論求解是解此題的關(guān)鍵．