Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y=ax²．
（1）若直線l₁：y=x-1與拋物線C有且只有1個交點，求拋物線C的解析式．
（2）如圖1，在（1）的條件下，在y軸上有一點A（0，4），過點A作直線l₂與拋物線C有兩個交點M、N（N位于第一象限），過點N作x軸的垂線，垂足為H．試探究：是否存在l₂，使△MON∽△NHO？若存在，求出l₂的解析式；若不存在，說明理由．
（3）如圖2，E、F為拋物線C（y=ax²）上兩動點，始終滿足OE⊥OF，連接EF，則直線EF是否恒過一定點G？若存在點G，直接寫出G點坐標(biāo)（用含a的坐標(biāo)表示），若不存在，給予證明．
（參考結(jié)論：若直線l：y=kx+b上有兩點（x₁，y₁）、（x₂，y₂），則斜率k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$；當(dāng)兩直線l₁、l₂的斜率乘積k₁•k₂=-1時，l₁⊥l₂）

Answer 1

分析 （1）首先將l₁和拋物線C的解析式聯(lián)立得：ax²-x+1=0，由直線l₁：y=x-1與拋物線C有且只有1個交點，可得△=0，繼而求得a的值，即求得拋物線C的解析式；
（2）首先設(shè)l₂解析式為y=kx+b，然后與拋物線C解析式聯(lián)立，再設(shè)點M（x₁，kx₁+4），N（x₂，kx₂+4），分別表示出OM，ON的斜率，然后求得k₁k₂=-1，即可證得OM⊥ON，則可求得l₂的解析式；
（3）與（2）類似，可以由k₁k₂=-1，求得G點坐標(biāo)．

解答 解：（1）將l₁和拋物線C的解析式聯(lián)立得：ax²-x+1=0，
∵y=x-1與拋物線C有且只有1個交點，
∴△=1-4a=0，
解得a=$\frac{1}{4}$，
∴C的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²；

（2）假設(shè)存在l₂，設(shè)l₂解析式為y=kx+b，
與拋物線C解析式聯(lián)立得：$\frac{1}{4}$x²-kx-4=0，
設(shè)點M（x₁，kx₁+4），N（x₂，kx₂+4），
則直線OM、ON的斜率分別為k₁=$\frac{k{x}_{1}+4}{{x}_{1}}$，k₂=$\frac{k{x}_{2}+4}{{x}_{2}}$，
∴k₁k₂=k²+$\frac{4k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{16}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-16，
∴k₁k₂=k²+$\frac{16{k}^{2}}{-16}$+$\frac{16}{-16}$=-1，
∴OM⊥ON恒成立，∠MON=∠NHO=90°，
要想使△MON∽△NHO成立，只需再令∠MNO=∠NOH即可，
即MN⊥y軸，
∴存在l₂符合題意，l₂解析式為y=4；

（3）存在定點G，
假設(shè)存在l，設(shè)l解析式為y=kx+b，
與拋物線C解析式聯(lián)立得：ax²-kx-b=0，
設(shè)點M（x₁，kx₁+b），N（x₂，kx₂+b），
則直線OM、ON的斜率分別為k₁=$\frac{k{x}_{1}+b}{{x}_{1}}$，k₂=$\frac{k{x}_{2}+b}{{x}_{2}}$，
∴k₁k₂=k²+$\frac{bk（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，x₁•x₂=-$\frac{a}$，OE⊥OF，
∴k₁k₂=k²+$\frac{bk•\frac{k}{a}}{-\frac{a}}$+$\frac{^{2}}{-\frac{a}}$=-ab=-1，
∴b=$\frac{1}{a}$，
∴點G坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{a}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題．考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題，屬于新定義題目．注意理解斜率的定義是解此題的關(guān)鍵．