Question

10．如圖（1），在Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2$\sqrt{3}$，∠AOB的平分線OC交AB于C，過O點做與OB垂直的直線ON．動點P從點B出發(fā)沿折線BC-CO向終點O運動，運動時間為t秒，同時動點Q從點C出發(fā)沿線段CO及直線ON運動，當(dāng)點P到達(dá)點O時P、Q同時停止運動．
（1）求OC、BC的長；
（2）當(dāng)點P與點Q的速度都是每秒1個單位長度的速度運動時，設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點P運動到OC上時，在直線OB上有一點D，當(dāng)PD+BP最小時，在直線OB上有一點E，若以B、P、Q、E為頂點的四邊形為平行四邊形，設(shè)點P、Q的運動路程分別為a、b，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）求出∠B，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出OA，求出AB，在△AOC中，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于OC的方程，求出OC即可；
（2）有四種情況：①當(dāng)P在BC上，Q在OC上時，t＜2，過P作PH⊥OC于H，求出PH，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；②當(dāng)t=2時，P在C點，Q在O點，此時，△CPQ不存在；③當(dāng)P在OC上，Q在ON上時，過P作PG⊥ON于G，過C作CZ⊥ON于Z，求出CZ和PG的值，求出△OCQ和△OPQ的面積，相減即可④t=4時，求出即可；
（3）過B作BB₁⊥OC，垂足為C₁，與OA的延長線交于B₁，作B₁D⊥OB，垂足為D，與OC交于點P，此時BP+PD=B₁D（最短），于是得到△OBB₁為正三角形，①當(dāng)點Q在OC上時，由PQ與EB交于點O⇒BPQE不可能為平行四邊形，②當(dāng)點Q在直線ON上時，A．如圖（4）以BQ為對角線，B．如下圖（5）以BP為對角線，C．如下圖（6）以BE為對角線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到a+b=5．

解答 （1）解：∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2$\sqrt{3}$，
∴∠B=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：AB=3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，
∴OC=BC，
在△AOC中，AO²+AC²=CO²，
∴（$\sqrt{3}$）²+（3-OC）²=OC²，
∴OC=2=BC，
答：OC=2，BC=2．

（2）解：①如圖（1），當(dāng)P在BC上，Q在OC上時，0＜t＜2，
則CP=2-t，CQ=t，
過P作PH⊥OC于H，
∠HCP=60°，
∠HPC=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$CP=$\frac{1}{2}$（2-t），HP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-t），
∴S_△CPQ=$\frac{1}{2}$CQ×PH=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-t），
即S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t；
②當(dāng)t=2時，P在C點，Q在O點，此時，△CPQ不存在，
∴S=0，

③如圖（2）當(dāng)P在OC上，Q在ON上時2＜t＜4，
過P作PG⊥ON于G，過C作CZ⊥ON于Z，
∵CO=2，∠NOC=60°，
∴CZ=$\sqrt{3}$，
CP=t-2，OQ=t-2，
∠NOC=60°，
∴∠GPO=30°，
∴OG=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$（4-t），PG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t），
∴S_△CPQ=S_△COQ-S_△OPQ=$\frac{1}{2}$×（t-2）×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×（t-2）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t），
即S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\sqrt{3}$t+$\sqrt{3}$．
④當(dāng)t=4時，P在O點，Q在ON上，如圖（3）

過C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，
∵∠B=30°，由（1）知BC=2，
∴CM=$\frac{1}{2}$BC=1，
有勾股定理得：BM=$\sqrt{3}$，
∵OB=2$\sqrt{3}$，
∴OM=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$=CK，
∴S=$\frac{1}{2}$PQ×CK=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
綜合上述：S與t的函數(shù)關(guān)系式是：${S_{△CPQ}}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{t^2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;（0≤t≤2）\\-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{t^2}+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}t-2\sqrt{3}\;\;（t＞2）\end{array}\right.$；
（3）過B作BB₁⊥OC，垂足為C₁，與OA的延長線交于B₁，
作B₁D⊥OB，垂足為D，與OC交于點P，此時BP+PD=B₁D（最短），
由題可得：△OBB₁為正三角形，
當(dāng)P與C重合，D為OB中點，PD=CA=1，BP+PD=3，
①當(dāng)點Q在OC上時，由PQ與EB交于點O⇒BPQE不可能為平行四邊形，
②當(dāng)點Q在直線ON上時，
A．如圖（4）以BQ為對角線，∵QE∥PB．QE=PB，E與D重合，∴OQ=PD=1，
此時a+b=5，
B．如下圖（5）以BP為對角線，∵QP∥BE，QP=BE，∴PQ=BE=$\sqrt{3}$，
此時a+b=5，
C．如下圖（6）以BE為對角線，∵PB∥EQ，PB=EQ，解Rt△EOQ得OQ=1，
此時a+b=5，
綜上：以B、P、Q、E為頂點的四邊形為平行四邊形時Q在直線ON上且a+b=5．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，函數(shù)自變量的取值范圍，解一元一次方程，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識點的運用，本題綜合性比較強(qiáng)，難度偏大，主要考查了學(xué)生綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力，并且運用了方程思想和分類討論思想．