Question

9．如圖，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，BD=CE．
（1）求證：BD⊥CE；
（2）聯(lián)結(jié)CD、DE，試判斷△DCE的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由條件可證明Rt△ABD≌Rt△BCE，則可求得∠EFD=90°，可證得結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于G，結(jié)合條件可證明△ABD≌△GDB，則可證得BD=CD，結(jié)合條件可證得CD=CE，可證明△CDE為等腰三角形．

解答 （1）證明：
∵AD∥BC，
∴∠A+∠CBE=180°，
又∠A=90°，
∴∠CBE=90°；
∵AB=BC，BD=CE，
在Rt△ABD和Rt△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{BD=CE}\end{array}\right.$
∴Rt△ABD≌Rt△BCE（HL），
∴∠D=∠BEC，
∵∠D+∠ABD=90°，
∴∠BEC+∠ABD=90°，
∵∠EFB+∠BEC+∠ABD=180°，
∴∠EFB=90°，
∴BD⊥CE；
（2）解：△DCE是等腰三角形．
證明如下：
∵Rt△ABD≌Rt△BEC，
∴AD=BE，
又AB=BC，
點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴$AD=\frac{1}{2}BC$，
如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于G，

∴∠DGB=90°=∠A，
∵AD∥BC，
∴∠GBD=∠ADB，
在△ABD和△GDB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DGB}\\{∠ADB=∠GBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△GDB（AAS），
∴$BG=AD=\frac{1}{2}BC$；
∴DF垂直平分BC，
∴BD=CD，
又BD=CE，
∴CD=CE，
∴△DCE是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．