Question

8．在△ABC中，D、E分別為BC、AB的中點(diǎn)，EG⊥AC于點(diǎn)G，EG、AD交于點(diǎn)F，若AG=4，BC=2$\sqrt{29}$，tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，則AC=12．

Answer 1

分析 設(shè)AC=2a，連接DE，過(guò)D作DH⊥AC于H，根據(jù)D、E分別為BC、AB的中點(diǎn)，于是得到DE=$\frac{1}{2}$AC=a，DE∥AC，CD=$\frac{1}{2}BC$=$\sqrt{29}$，根據(jù)已知條件tan∠DAC=$\frac{FG}{AG}=\frac{FG}{4}$=$\frac{1}{2}$，求得FG=2，通過(guò)△AGF∽△DFE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AG}{DE}=\frac{FG}{EF}$，求得EF=$\frac{1}{2}$a，得到DH=EH=2+$\frac{1}{2}$a，HC=2a-4-a=a-4，根據(jù)勾股定理列方程$（\frac{1}{2}a+2）^{2}+（a-4）^{2}=29$，即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)AC=2a，連接DE，過(guò)D作DH⊥AC于H，
∵D、E分別為BC、AB的中點(diǎn)，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=a，DE∥AC，CD=$\frac{1}{2}BC$=$\sqrt{29}$，
∵tan∠DAC=$\frac{FG}{AG}=\frac{FG}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴FG=2，
∵DE∥AC，
∴△AGF∽△DFE，
∴$\frac{AG}{DE}=\frac{FG}{EF}$，
即$\frac{4}{a}=\frac{2}{EF}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$a，
∴DH=EH=2+$\frac{1}{2}$a，HC=2a-4-a=a-4，
在Rt△DHC中，
DH²+CH²=DC²，
即$（\frac{1}{2}a+2）^{2}+（a-4）^{2}=29$，
解得：a=6，a=-$\frac{6}{5}$（舍去），
∴AC=12．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的周長(zhǎng)輔助線是解題的關(guān)鍵．